Penerapan Program Dinamis
Dalam permasalahan sehari-hari, kita sering menggunakan salah satu cabang ilmu dalam matematika yaitu riset operasi yang berhubungan dengan prinsip optimisasi. Secara umum optimisasi adalah pencapaian suatu keadaan yang terbaik, misalnya memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya. Salah satu pendekatan yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah optimisasi adalah metode program linear. Permasalahan umum dalam program linear dapat dirumuskan sebagai model program dinamik. Dalam penelitian ini, untuk mencari penyelesaian yang optimal dalam program linear pada permasalahan alokasi sumber daya yang terbatas yaitu dengan menggunakan teknik program dinamik. Dalam program dinamik masalah dibagi menjadi bagian-bagian masalah yang lebih kecil, sehingga lebih mudah dalam mengevaluasi masalah tersebut.
Pada kali ini saya akan membahas masalah alokasi dan masalah muatan.
1. Model alokasi dalam permasalahan program linear merupakan aplikasi yang paling praktis. Semua model alokasi biasanya mencoba untuk mengalokasi-kan suatu sumber daya yang terbatas supaya mengoptimalkan hasil dari alokasi itu. Sumber daya yang terbatas itu dapat berupa lahan, bahan baku, tenaga kerja, mesin, modal, waktu, dan lain lain. Alokasi ini dilakukan untuk memaksimalkan laba atau memperkecil biaya, atau mengoptimalkan ukuran-ukuran efisiensi lain yang ditetapkan oleh keputusan pembuat.
Contoh penyelesain program linier dengan menggunakan metode simpleks
PT Yummy food memiliki sebuah pabrik yang akan memproduksi dua jenis produk yaitu vanilla dan violette. Untuk memproduksi kedua produk tersebut diperlukan bahan baku A, bahan baku B dan jam tenaga kerja. Maksimum pengerjaan bahan baku A adalah 60kg per hari, bahan baku B 30kg per hari dan tenaga kerja 40jam per hari. Kedua jenis produk memberikan sumbangan keuntungan sebesar Rp40,00 untuk vanilla dan Rp30,00 untuk violette. Masalah yang dihadapi adalah bagaimana menentukan jumlah unit setiap produk yang akan diproduksi setiap hari. Kebutuhan setiap unit produk akan bahan baku dan jam tenaga kerja dapat dilihat pada tabel berikut ini:
Jenis bahan baku dan tenaga kerja
|
Kg bahan baku dan jam tenaga kerja
|
Maksimum Penyediaan
| |
Vanilla
|
Violette
| ||
Bahan baku A
|
2
|
3
|
60Kg
|
Bahan baku B
|
-
|
2
|
30Kg
|
Tenaga Kerja
|
2
|
1
|
40jam
|
Sumbangan keuntungan
|
Rp40,00
|
Rp30,00
| |
Penyelesaian:
Z = Rupiah keuntungan per hari
X1 = Jumlah vanilla yang diproduksi/perhari
X2 = jumlah violette yang diproduksi/hari
Langkah 1
Formulasi LP (bentuk standar)
Fungsi tujuan è Zmax = 40X1 + 30X2
Fungsi kendala è I. 2X1 + 3X2 ≤ 60
II. 2X2 ≤ 30
III. 2X1 + 1X2 ≤ 40
IV. X1,X2 ≥ 0
Diubah menjadi:
2X1 + 3X2 + S1 + 0S2 + 0S3 = 60
2X2 + 0S1 + S2 + 0S3 = 30
2X1 + 1X2 + 0S1 + 0S2 + S3 = 40
40X1 + 30X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3
C1 = 40, C2 = 30, C3 = 0, C4= 0, C5 = 0
Langkah 2
Tabel simplex awal masalah PT Yummy Food
Cj
|
40
|
30
|
0
|
0
|
0
| ||
Ci
|
BV
|
X1
|
X2
|
S1
|
S2
|
S3
|
Bi
|
0
|
S1
|
2
|
3
|
1
|
0
|
0
|
60
|
0
|
S2
|
0
|
2
|
0
|
1
|
0
|
30
|
0
|
S3
|
2
|
1
|
0
|
0
|
1
|
40
|
Zj
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
| |
Cj-ZJ
|
40
|
30
|
0
|
0
|
0
| ||
Langkah 3
Apakah tabel tersebut sudah optimal?
Belum, karena tabel optimal bila nilai yang terdapat pada baris Cj – Zj ≤ 0
Langkah 4
Penyelesaian dengan cara iterasi
1. Menentukan kolom kunci, yaitu kolom yang memiliki nilai Cj-Zj terbesar yaitu kolom x1. Dengan demikian x1 akan masuk dalam basis
2. Menentukan baris kunci, yaitu baris yang memiliki angka indeks terkecil dan bukan negatif. Dalam hal ini baris s3. Dengan demikian s3 akan keluar dari basis dan tempatnya akan digantikan oleh x1
3. Menetukan angka kunci. Angka kunci adalah angka yang terdapat pada persilangan kolom kunci dengan baris kunci, dalam hal ini angka kunci = 2
4. Mencari angka baru yang terdapat pada baris kunci, dengan cara membagi semua angka yang terdapat pada baris kunci dengan angka kunci
Angka baru = 40/2, 2/2, ½, 0/2, 0/2, ½ ; atau = 20, 1, ½, 0,0 ½
5. Mencari angka baru pada baris lain, yaitu :
Baris S1
Angka lama = [ 60 2 3 1 0 0 ]
Angka baru = [ 20 1 ½ 0 0 ½] (2)
Angka baru = [20 0 2 0 0 -1]
Baris S2
Angka lama = [ 30 0 2 0 1 0]
Angka baru = [ 20 1 ½ 0 0 1/2] (0)
Angka baru = [ 30 0 2 0 1 0]
Hasil perhitungan di atas, akan nampak pada tabel baru simplex yaitu tabel yang merupakan hasil iterasi pertama.
Cj
|
40
|
30
|
0
|
0
|
0
| ||
Ci
|
BV
|
X1
|
X2
|
S1
|
S2
|
S3
|
Bi
|
0
|
S1
|
0
|
2
|
1
|
0
|
-1
|
20
|
0
|
S2
|
0
|
2
|
0
|
1
|
0
|
30
|
40
|
X1
|
1
|
½
|
0
|
0
|
½
|
20
|
Zj
|
40
|
20
|
0
|
0
|
20
| ||
Cj-ZJ
|
0
|
10
|
0
|
0
|
0
| ||
Tabel iterasi 1 belum optimal sehingga harus diulang langkah di atas dan akan di dapat tabel iterasi 2:
Cj
|
40
|
30
|
0
|
0
|
0
| ||
Ci
|
BV
|
X1
|
X2
|
S1
|
S2
|
S3
|
Bi
|
30
|
X1
|
0
|
1
|
½
|
0
|
-1/2
|
10
|
0
|
S2
|
0
|
0
|
-1
|
1
|
1
|
10
|
40
|
S3
|
1
|
0
|
-1/4
|
0
|
¾
|
15
|
Zj
|
40
|
30
|
5
|
0
|
15
| ||
Cj-ZJ
|
0
|
0
|
-5
|
0
|
-15
|
900
| |
Solusi optimum tabel iterasi 2 menunjukan bahwa total nilai Z = 900 dengan masing-masing variabel keputusan X1 = 15 dan X2 = 10.
Variabel basis
|
Koefisien fungsi tujuan
|
Nilai variabel basis
| |
X2
|
30
|
10
|
300
|
S2
|
0
|
10
|
0
|
X1
|
40
|
15
|
600
|
JUMLAH
|
900
|
KESIMPULAN:
1. Pada tabel iterasi 2 merupakan tabel akhir simplex, dengan solusi optimal adalah :
X1 (vanilla) = 15 unit
X2 (violette) = 10 unit
Z (keuntungan) = Rp 900,00
2. Kendala kedua (bahan baku B) masih tersisa sebanyak 10 Kg yang ditunjukan oleh nilai S2 =10, pada tabel optimal
3. Kendala 1 dan 3 tidak ada sisa (full capacity), yang ditunjukan oleh nilai S1 = S3 = 0 (variabel nonbasis). Hal ini juga dapat dibuktikan dengan memasukan nilai S1 dan S2 ke dalam kendala 1 dan 3
Kendala 1 : 2X1 + 3X2 = 60
2 (15) + 3 (10) = 60
60 = 60
Bahan baku yang digunakan = yang tersedia
Kendala 3 : 2X1 + 1X2 = 40
2 (15) + 1(10) = 40
40 = 40
Jam kerja yang digunakan = yang tersedia
2. Masalah utama yang ingin dicapai oleh pengendalian persediaan adalah meminimumkan biaya operasi total perusahaan. Jadi, ada dua keputusan yang perlu diambil dalam hal ini, yaitu berapa jumlah yang harus dipesan setiap kali pemesanan, dan kapan pemesanan itu harus dilakukan. Holding cost atau carrying cost timbul karena perusahaan menyimpan persediaan. Biaya ini sebagian besar merupakan biaya penyimpanan (secara fisik) disamping pajak dan asuransi barang yang disimpan unsur penting (dan merupakan proporsi yang besar) dalam holding cost. Dimana holding cost adalah opportunity cost dan pada dana yang tertahan di dlaam persediaan, yang mungkin akan lebih menguntungkan bila ditanamkan atau digunakan untuk keperluan lain. Tentunya opportunity cost ini tergantung pada berapa jumlah barang yang disimpan sebagai persediaan dan berapa lama ia disimpan. Karena itu seringkali biaya penyimpanan dinyatakan per satuan nilai persediaan.
http://eprints.umpo.ac.id/312/1/ARTIKEL.pdf
https://www.academia.edu/8277949/PENGGUNAAN_PROGRAM_DINAMIK_UNTUK_MENENTUKAN_TOTAL_BIAYA_MINIMUM_PADA_PERENCANAAN_PRODUKSI_DAN_PENGENDALIAN_PERSEDIAAN_SKRIPSI_Oleh_FARIDA_ULFA_NURHIDAYATI_NIM_06510031
